Optimalizace portfolia pomocí metody PQM (část 1)

Vyhledávání optimální struktury aktiv v portfoliu není jednoduchá záležitost. Na jedné straně hodně závisí na parametrech aktiv, která jsou v portfoliu, na druhé straně závisí na individuálních přednostech a omezeních investora. Nicméně, současná finanční teorie a nové metody analýzy a obchodování značně tento proces zjednodušují.
Jedním z příkladů provedení současné teorie portfolia může sloužit metoda Portfoliového kótování: metoda umožňující budovat a analyzovat více variant portfolií, vytvořených z velkého počtu aktiv. Navíc, hodnota příležitostí pro analýzu není pouze ve sledování změn obsolutní hodnoty portfolia, ale ve studiu chování portfolia vůci trhu či alternativnímu portfoliu, což umožňuje operativně učinit investiční rozhodnutí. Důsledkem použití metody je vytvoření nové finanční jednotky – syntetického instrumentu (s technickým názvem PCI – personal composite instrument).

V tomto článku se omezíme náborem z 6 akcií amerických firem, které na první pohled ukázaly relativně dobré výsledky během posledních let. Pomocí metody GeWorko jsme sestrojili portfolio, které ukazuje značný růst v post-krizovém období. V našem výběru (s odpovidajícími náhodnými váhami) jsou:

1. Walt Disney Company (20%)
2. Home Depot Inc. (20%)
3. Honeywell International Inc. (15%)
4. International Business Machines Corporation (15%)
5. Coca-Cola Company (10%)
6. McDonald’s Corporation (20%)

Při srovnání dynamiky portfolia s trhem (Index Dow Jones Industrial Average podmíněně vystupuje jako trh, který zahrnuje všechny uvedené akcie) ukázalo se, že portfolio systematicky vyhrávalo index před krizí, během ní a během doby obnovy. Získaný graf PCI velmi úspěšně ilustruje chování portfolia vůci indexu:

Graf 1: Portfolio proti indexu Dow Jones

Navzdory úspěšnému výběru váh zahrnutých aktiv do portfolia, stále nevíme, jestli to je optimální, zda existují jiné váhové koeficienty zajišťující nižší ukazatel rizika v této úrovni výnosnosti či vyšší ukazatel výnosnosti na nezměněné úrovni rizika. Pokud se nám podaří najít takové portfolio, ono bude jistě vhodnějším pro racionální investor, než portfolio s náhodnými váhovými koeficienty.

Nicméně, stanovení optimálnosti portfolia pro investora, jak jsme hovořili již výše, bude záviset na individuálních přednostech a omezeních. Bez přítomnosti konkrétních požadavků ke vlastnostem portfolia nemůžeme vědět, zda bude například pro investora portfolio s vyšší úrovní příjmu, ale i s vyšší úrovní rizika. V tomto ohledu, pro účely analýzy optimálním portfoliem budeme nazývat portfolio, které by mělo maximální vydatnost na jednotku rizika. Tento ukazatel je znám jako koeficient Sharpe (Sharpe poměr).

Na rozdíl od tradiční verze, která ukazuje vztah prémie za riziko k ukazatelu rizika, omezíme se vztahem výnosnosti portfolia k rizika, bez opravy na bezrizikovou sázku. Toto zjednodušení nikterak neovlivňuje vyvedení, která umožní srovnat efektivitu alternativních investičních portfolií.

Pro začátek se vrátíme k počátečnímu portfoliu s náhodně uloženými váhami a určíme její parametry rizika a výnosnosti. Analýza portfolií bude se základat na měsíční údaje za ceny zavření 6 akcií podle výběru od ledna roku 2005 do dubna roku 2013. Jelikož původním cílem bylo srovnání dynamiky portfolia s indexem (trhem), jsme se rozhodli použít trochu netradiční přístup a přizpůsobit měsíční zavírací ceny s pomocí dělení na odpovídající hodnoty indexu. Na základě logaritmů přírůstů výnosnosti jsme spočítali střední měsíční hodnoty výnosnosti a standardní odchylky výnosnosti pro 6 řádků údajů. V tabulce níže jsou uvedeny výsledky výpočtů:

Tabulka 2: Realizované výnosnosti, standardní odchylky a koeficienty Sharpe ve srovnání s portfoliem P1

Zjistilo se, že nejvyšší (0.77%) střední měsíční výnosnost (ve srovnání s indexem )ukázaly akcie MCD, nejnižší - akcie HD (0.24%). Nejmenší standardní odchylky byly prokázány v akcích KO (3.95%), největší - v akcích HD (5.73%). Kromě toho jsme spočítali zjednodušenou verzi koeficientu Sharpe, který ukazuje vztah výnosnosti aktiva k riziku. Nejvyšším koeficientem je v akcích MCD (0.19) ukazujících největší návratnost výnosnosti na jednotku rizika. Tento fakt umožňuje nám předpokládat, že právě akcie MCD budou mít nejvyšší váhový koeficient v "optimálním" portfoliu. Pro pokračování analýzy potřebujeme také charakteristiky vzájemných vazeb mezi 6 souvisejících aktiv – koeficienty kovariace. Kovarianční matice je spočítána na stejné měsíční údaje.

Majíc všechny požadované vstupní parametry a předpokládáním, že nájdené hodnoty výnosnosti a standardní odchylky pro 6 cenných papírů jsou nejlepšímí hodnoceními očekávaných výnosností a rizik, můžeme přistoupit k formování portfolií. Připomeneme, že vstupní údaje již byly přizpůsobeny na hodnotu indexu, proto portfolia, která dostaneme, již budou odrážet chování trhu.

První portfolio (Р1), které dostaneme, se stane východiskem k hledání úspěšnějších kombinací aktiv. Toto je portfolio s náhodnými váhovými koeficienty, graf kterého byl uveden na samém začátku. Když známe parametry rizika a výnosnosti 6 cených papírů zahrnutých do souborů, jejich váhy a kovarianční matici, můžeme spočítat střední měsíční výnosnost portfolia a jeho standardní odchylku. Je snadné vidět, že pomocí kobinování aktiv jsme dosáhli podstatného snížení rizika. Standardní odchylka portfolia P1 činí pouze 1.74%, a výnosnost – 0.46%:

Tabulka 3: Realizované výnosnosti, standardní odchylky a koeficienty Sharpe ve srovnání s portfoliem P1 a P2

Kromě toho, ve srovnání s jakýmkoliv z 6 cenných papírů, portfolio má vyšší návratnost výnosnosti na jednotku rizika, o čem svědčí koeficient Sharpe (0.26), který bude určovat efektivitu portfolia.

Nyní když známe charakteristiky náhodného portfolia, můžeme přistoupit k hledání takové kombinace aktiv, která by nejlépe vyhovovala našim preferencím a omezením. Jak již bylo uvedeno, základním ukazatelem optimálnosti portfolia vybrali jsme koeficient Sharpe. Změniv váhy 6 cenných papírů zahrnutých do portfolia, potřebujeme najít takovou kombinaci, která by vyhovovala maximálně možnému vztahu výnosnosti k riziku. Jediná omezení na hledání řešení, která zadáme, jsou v tom, že váhové koeficienty nemají být menší než nula a jejich součet má být roven 100%, aby zachovali možnost srovnání portfolií.

Řešení nás vede k následujícímu souboru portfolia: jak jsme čekali, největší váhu (32.67%) získaly akcie MCD, jelikož právě tyto akcie měly nejvyšší koeficient Sharpe, a pak jsou DIS(19.33%), HON (19.04%), HD (10.96%), KO (10.28%) a IBM (7.71%):

Diagram struktury portfolia P2

V důsledku, portfolio P2, získaný změnou váh pro maximalizaci Sharpe koeficient, ukázalo lepší ukazatele, než portfolio s náhodnými váhovými koeficienty (Р1):

Maximalizující koeficient Sharpe pro portfolio P2 byl 0.3. Tato hodnota je vyšší, než má portfolio P1 (0.26), natožpak o individuálních parametrech aktiv, přičemž lepším byl jak ukazatel výnosnosti (0.52%), tak i standardní odchylky (1.72%). Navedení – získané maximizací koeficientu Sharpe portfolio je vždy nejvhodnějším pro racionálního investora (pamatujme si o předpokladu naší analýzy o tom, že vypočtené ukazatele rizika a výnosnosti jsou nejlepšími hodnoceními).

Pomocí PCI instrumentace můžeme snadné sestrojit nami nájdené "optimální" portfolio s uvedením váhových koeficientů pro 6 akcií a vztahovat podkladovou část PCI k analogickému portfoliu, složené jenom z indexu Dow Jones Industrial Average (viz Graf).

Graf 2: Portfolio, maximalizující koeficient Sharpe vůci indexu Dow Jones

Stejně jako v předchozím případě s "náhodným" portfoliem Р1, dostáváme prakticky stále rostoucí strukturu během posledních 7 let, volatilita které se výrazně zvyšuje v době ekonomické nestability.

Nicméně zdůrazňujeme, že toto optimální portfolio je jenom pro nás, jelikož vybrali jsme koeficient Sharpe jako základní kritérie optimálnosti. Můžeme pouze schvalovat, že při existujícím vstupním parametrům není jiné portfolio, které by umožnilo dosáhnout vyšší výnosnosti (>0.52%) při zadané úrovni rizika (1.72%), a také není portfolio, které bylo by méně riskantním (<1.72%) při zadané výnosnosti (0.52%). Je však možné, že investor je připraven a má objektivní možnosti ke zvýšení rizika, aby dosáhl vyšší úrovně výnosnosti, nebo naopak, investor se snaží získat minimálně riskantní portfolio z dostupných aktiv.

Pokračování článku čtěte v sekci "Optimizace portfolia pomocí metody GeWorko (část 2)"